01 · Estructura del examen
Estructura PAU Matemáticas CCSS 2026
Duración: 90 min · Sin penalización por ortografía (asignatura técnica) · Mínimo 50% preguntas competenciales (nuevas PAU 2026) · Único modelo con optatividad interna
| Bloque | Contenido | Puntos orientativos | Peso |
|---|---|---|---|
| A · Álgebra | Matrices, determinantes, sistemas de ecuaciones lineales | ~2–2.5 pts | |
| B · Análisis | Funciones, límites, derivadas, integrales | ~3–3.5 pts | |
| C · Probabilidad | Probabilidad condicionada, distribuciones binomial y normal | ~2–2.5 pts | |
| D · Prog. lineal | Inecuaciones, región factible, máximos/mínimos | ~1.5–2 pts |
Claves generales
- Muestra siempre el proceso y razonamiento, no solo el resultado
- Usa el lenguaje matemático correcto (notación, símbolos)
- Revisa unidades y contextualiza la respuesta (problema real)
- Gestiona el tiempo: ~22 min/bloque
Temas que más caen
- Resolución sistema por Gauss + discusión (Rouché)
- Programación lineal con 2 variables (siempre cae)
- Derivadas aplicadas: máximos, mínimos, monotonía
- Distribución Normal tipificación y tablas Z
- Probabilidad total + Bayes
02 · Bloque A
Álgebra Matricial
Operaciones con matrices
- Suma: mismo orden, se suman elemento a elemento
- Producto por escalar: multiplica cada elemento por k
- Producto A·B: columnas de A = filas de B · (orden m×n)·(n×p) = m×p
- Traspuesta Aᵀ: filas ↔ columnas
- No conmutativa: A·B ≠ B·A en general
Tipos especiales
- Matriz cuadrada: n×n
- Identidad I: diagonal = 1, resto = 0
- Nula: todos los elementos = 0
- Simétrica: A = Aᵀ
- Diagonal: elementos fuera diagonal = 0
- Triangular sup/inf: ceros encima o debajo de la diagonal
- Inversa A⁻¹: A·A⁻¹ = I (solo si |A| ≠ 0)
Determinantes
// Determinante 2×2
|A| = a·d − b·c
// Determinante 3×3 (Sarrus)
|A| = aei + bfg + cdh
− ceg − afh − bdi
// Adjunto Aᵢⱼ = (−1)^(i+j) · Mᵢⱼ
Mᵢⱼ = menor complementario
|A| = a·d − b·c
// Determinante 3×3 (Sarrus)
|A| = aei + bfg + cdh
− ceg − afh − bdi
// Adjunto Aᵢⱼ = (−1)^(i+j) · Mᵢⱼ
Mᵢⱼ = menor complementario
Propiedades clave
- Si una fila/columna es de ceros → |A| = 0
- Si hay filas/cols proporcionales → |A| = 0
- Intercambiar filas/cols → cambia signo
- |A·B| = |A|·|B|
- |Aᵀ| = |A|
- Rang(A) = orden mayor submatriz con |M| ≠ 0
Matriz Inversa
// Método adjunta (3×3):
A⁻¹ = (1/|A|) · Adj(A)ᵀ
// Adj(A) = matriz de adjuntos Aᵢⱼ
// Condición: |A| ≠ 0
// Método Gauss-Jordan: [A|I] → [I|A⁻¹]
A⁻¹ = (1/|A|) · Adj(A)ᵀ
// Adj(A) = matriz de adjuntos Aᵢⱼ
// Condición: |A| ≠ 0
// Método Gauss-Jordan: [A|I] → [I|A⁻¹]
Rango de una matriz
- Rango = r: mayor submatriz cuadrada con determinante ≠ 0
- Escalonar con Gauss para calcular el rango fácil
- Si A es n×n: rango n ↔ |A| ≠ 0 ↔ A es inversible
03 · Bloque A
Sistemas de Ecuaciones Lineales
| Tipo | Condición (Rouché-Frobenius) | Soluciones | Nombre |
|---|---|---|---|
| Incompatible | rang(A) ≠ rang(A|b) | ∅ — ninguna | SIN solución |
| Compatible Determinado | rang(A) = rang(A|b) = n (incógnitas) | 1 única | Solución única |
| Compatible Indeterminado | rang(A) = rang(A|b) < n | ∞ soluciones | Parámetro libre λ |
Método de Gauss
- Escribir la matriz ampliada (A|b)
- Aplicar operaciones elementales de fila hasta forma escalonada
- Comprobar rangos: rang(A) vs rang(A|b)
- Si compatible, despejar de abajo a arriba (sustitución regresiva)
- Si indeterminado: asignar λ a la incógnita libre
Método matricial (A·X = b)
- Escribir sistema como A·X = b
- Calcular |A|; si ≠ 0 → solución única
- X = A⁻¹ · b
- Si |A| = 0 → Gauss o Cramer no aplica
// Regla de Cramer (3×3):
x = |Aₓ|/|A| · y = |A_y|/|A| · z = |A_z|/|A|
x = |Aₓ|/|A| · y = |A_y|/|A| · z = |A_z|/|A|
Sistemas con parámetro — Estrategia PAU
- Calcula |A| en función del parámetro m (o a, k…)
- Iguala |A| = 0 → valores de m que hacen el sistema no invertible
- Para cada valor: calcula rang(A) y rang(A|b) y clasifica
- Para el resto de valores: sistema CSD → resuelve normalmente
04 · Bloque D
Programación Lineal
Optimizar (maximizar o minimizar) una función objetivo sujeta a un conjunto de restricciones lineales. El óptimo siempre está en un vértice de la región factible.
Pasos para resolver
- Definir variables (x, y) según el problema
- Escribir la función objetivo f(x,y) = ax + by
- Escribir las restricciones como inecuaciones (≤, ≥, =)
- Representar gráficamente las restricciones
- Sombrear la región factible (zona que cumple todo)
- Calcular los vértices de la región (intersecciones)
- Evaluar f en cada vértice → el mayor/menor es el óptimo
Conceptos clave
- Región factible: conjunto de puntos que satisfacen todas las restricciones
- Vértice (punto extremo): intersección de dos restricciones activas
- Región acotada: área finita → siempre existe máx. y mín.
- Región no acotada: puede que no exista máximo o no exista mínimo
- Solución múltiple: si f es paralela a un lado → infinitas soluciones óptimas
- Restricciones implícitas: x ≥ 0, y ≥ 0 (no negatividad)
Truco: pintar inecuaciones
- Traza la recta como si fuera una igualdad (ax + by = c)
- Prueba el punto (0,0): si lo cumple, sombrea ese lado; si no, el otro
- La región factible = intersección de todas las zonas sombreadas
- Si la región está vacía → problema sin solución
05 · Bloque B
Funciones y Límites
| Tipo de función | Forma | Propiedades clave |
|---|---|---|
| Polinómica | f(x) = aₙxⁿ + … + a₀ | Continua en ℝ, derivable en ℝ |
| Racional | f(x) = P(x)/Q(x) | Discontinuidades en ceros de Q(x) |
| Exponencial | f(x) = aˣ (a>0, a≠1) | Dominio ℝ, asíntota horizontal y = 0 |
| Logarítmica | f(x) = logₐ(x) | Dominio x>0, asíntota vertical x = 0 |
| Por partes | Distintas fórmulas en distintos intervalos | Estudiar continuidad en los puntos de cambio |
Límites — Técnicas
- Sustitución directa: si f es continua en x₀ → lím = f(x₀)
- Indeterminación 0/0: factorizar y simplificar
- Indeterminación ∞/∞: dividir por la mayor potencia de x
- Indeterminación 1^∞: usar lím (1 + u)^(1/u) = e
- L'Hôpital: 0/0 o ∞/∞ → derivar numerador y denominador
- Asíntota vertical: lím f(x) = ±∞ cuando x → a
- Asíntota horizontal: lím f(x) cuando x → ±∞ = L
- Asíntota oblicua: y = mx + n; m = lím f(x)/x, n = lím[f(x)−mx]
Continuidad
- f es continua en x₀ si:
① f(x₀) está definida
② lím(x→x₀) f(x) existe
③ lím = f(x₀) - Discontinuidad evitable: el límite existe pero ≠ f(x₀)
- Discontinuidad de salto finito: lím lat. izq. ≠ lím lat. der. (ambos finitos)
- Discontinuidad esencial: algún límite lateral es ±∞
06 · Bloque B
Derivadas y Aplicaciones
| Función | Derivada | Función | Derivada |
|---|---|---|---|
| k (cte) | 0 | eˣ | eˣ |
| xⁿ | n·x^(n−1) | aˣ | aˣ·ln(a) |
| √x | 1/(2√x) | ln(x) | 1/x |
| 1/x | −1/x² | logₐ(x) | 1/(x·ln(a)) |
| sen(x) | cos(x) | cos(x) | −sen(x) |
// Reglas básicas:
(f ± g)' = f' ± g'
(k·f)' = k·f'
(f·g)' = f'·g + f·g'
(f/g)' = (f'g − fg')/g²
// Regla de la cadena:
[f(g(x))]' = f'(g(x)) · g'(x)
(f ± g)' = f' ± g'
(k·f)' = k·f'
(f·g)' = f'·g + f·g'
(f/g)' = (f'g − fg')/g²
// Regla de la cadena:
[f(g(x))]' = f'(g(x)) · g'(x)
Aplicaciones de la derivada
| Aplicación | Procedimiento | Condición |
|---|---|---|
| Recta tangente | y − y₀ = f'(x₀)·(x − x₀) | Punto (x₀, f(x₀)) |
| Monotonía | Signo de f'(x) | f'>0 → creciente; f'<0 → decreciente |
| Extremos | f'(x) = 0 → candidatos | f'' >0 → mín; f''<0 → máx |
| Concavidad | Signo de f''(x) | f''>0 → cóncava ↑; f''<0 → cóncava ↓ |
| Inflexión | f''(x) = 0 y cambia signo | Punto donde cambia concavidad |
| Límites (L'Hôpital) | Derivar num. y den. si 0/0 ó ∞/∞ | Repetir si sigue indeterminado |
Estudio completo de una función — Orden lógico PAU
- Dominio: excluir ceros del denominador y radicandos negativos
- Simetrías: par si f(−x) = f(x); impar si f(−x) = −f(x)
- Asíntotas: vertical (ceros denom.), horizontal/oblicua (lím x→±∞)
- Signo de f(x): ceros de f(x) y estudio de signo
- Derivada f'(x): calcular e igualar a cero → puntos críticos
- Monotonía y extremos: tabla de signos de f'
- Derivada segunda f''(x): concavidad y puntos de inflexión
- Representación gráfica: con todos los datos anteriores
07 · Bloque B
Integrales y Áreas
| Función | Primitiva F(x) | Función | Primitiva F(x) |
|---|---|---|---|
| k | kx + C | eˣ | eˣ + C |
| xⁿ (n≠−1) | xⁿ⁺¹/(n+1) + C | aˣ | aˣ/ln(a) + C |
| 1/x | ln|x| + C | sen(x) | −cos(x) + C |
| √x = x^(½) | (2/3)x^(3/2) + C | cos(x) | sen(x) + C |
// Regla de Barrow (integral definida):
∫ₐᵇ f(x)dx = F(b) − F(a)
// Área entre curva y eje X:
A = ∫ₐᵇ |f(x)| dx
// Área entre dos curvas:
A = ∫ₐᵇ |f(x) − g(x)| dx
// Donde a,b son los puntos de corte
∫ₐᵇ f(x)dx = F(b) − F(a)
// Área entre curva y eje X:
A = ∫ₐᵇ |f(x)| dx
// Área entre dos curvas:
A = ∫ₐᵇ |f(x) − g(x)| dx
// Donde a,b son los puntos de corte
Técnicas de integración
- Inmediata: reconocer tabla directa
- Cambio de variable (sust.): u = g(x) → du = g'(x)dx
- Inmediata compuesta: ∫f(g(x))·g'(x)dx = F(g(x)) + C
- Por partes: ∫u·dv = u·v − ∫v·du
(ILATE: Inversa, Log, Algebr., Trig., Exp.) - Fracciones parciales: descomponer P(x)/Q(x) si grado P < grado Q
Cuidado con las áreas — Errores frecuentes PAU
- Si f(x) toma valores negativos en [a,b], la integral definida NO es el área → usar valor absoluto
- Busca primero los puntos de corte con el eje X para separar intervalos
- Para área entre dos curvas, encuentra los puntos de corte f(x) = g(x) y resta la curva inferior a la superior
- Comprueba siempre cuál función está por encima en cada subintervalo
08 · Bloque C
Probabilidad
// Axiomas y fórmulas básicas:
P(A) ∈ [0,1]; P(Ω) = 1
P(A∪B) = P(A)+P(B)−P(A∩B)
P(Aᶜ) = 1 − P(A)
// Probabilidad condicionada:
P(A|B) = P(A∩B) / P(B)
// Independencia:
A⊥B ↔ P(A∩B) = P(A)·P(B)
// Probabilidad total:
P(A) = Σ P(A|Bᵢ)·P(Bᵢ)
// Teorema de Bayes:
P(Bᵢ|A) = P(A|Bᵢ)·P(Bᵢ) / P(A)
P(A) ∈ [0,1]; P(Ω) = 1
P(A∪B) = P(A)+P(B)−P(A∩B)
P(Aᶜ) = 1 − P(A)
// Probabilidad condicionada:
P(A|B) = P(A∩B) / P(B)
// Independencia:
A⊥B ↔ P(A∩B) = P(A)·P(B)
// Probabilidad total:
P(A) = Σ P(A|Bᵢ)·P(Bᵢ)
// Teorema de Bayes:
P(Bᵢ|A) = P(A|Bᵢ)·P(Bᵢ) / P(A)
Técnicas de conteo
| Técnica | Fórmula | ¿Importa el orden? |
|---|---|---|
| Permutaciones | Pₙ = n! | Sí, sin repetición |
| Variaciones | Vₙ,ₖ = n!/(n−k)! | Sí, k elementos de n |
| Combinaciones | Cₙ,ₖ = n!/[k!(n−k)!] | No importa |
| Var. con repetición | VRₙ,ₖ = nᵏ | Sí, con repetición |
Bayes — Estrategia PAU
- Identificar el sistema completo de sucesos {B₁, B₂, …}
- Hacer diagrama de árbol con probabilidades
- Aplicar probabilidad total para P(A)
- Aplicar Bayes para probabilidad inversa P(Bᵢ|A)
Distribuciones
Distribución Binomial B(n, p)
P(X=k) = C(n,k) · pᵏ · (1−p)^(n−k)
E[X] = μ = n·p
Var(X) = σ² = n·p·(1−p)
σ = √(n·p·q)
E[X] = μ = n·p
Var(X) = σ² = n·p·(1−p)
σ = √(n·p·q)
- n: número de ensayos (fijo)
- p: probabilidad de éxito en cada ensayo
- q = 1−p: probabilidad de fracaso
- Ensayos independientes entre sí
- Solo dos resultados posibles: éxito/fracaso
Distribución Normal N(μ, σ)
// Tipificación (→ N(0,1)):
Z = (X − μ) / σ
// Propiedades N(0,1):
P(Z < −z) = 1 − P(Z < z)
P(Z > z) = 1 − P(Z < z)
P(a < Z < b) = Φ(b) − Φ(a)
// Aprox. Binomial→Normal:
Si n·p > 5 y n·q > 5
Z = (X − μ) / σ
// Propiedades N(0,1):
P(Z < −z) = 1 − P(Z < z)
P(Z > z) = 1 − P(Z < z)
P(a < Z < b) = Φ(b) − Φ(a)
// Aprox. Binomial→Normal:
Si n·p > 5 y n·q > 5
- Curva simétrica respecto a μ
- Regla empírica: 68%–95%–99.7% dentro de μ±σ, μ±2σ, μ±3σ
- Buscar en tabla Z siempre P(Z < z)
- Usar corrección de continuidad al aproximar binomial
09 · Bloque C
Estadística Descriptiva e Inferencial
Medidas de posición
| Medida | Definición / Fórmula |
|---|---|
| Media x̄ | Σ(xᵢ·fᵢ) / n · (suma ponderada) |
| Mediana Me | Valor que deja el 50% a cada lado |
| Moda Mo | Valor con mayor frecuencia absoluta |
| Cuartil Q₁/Q₃ | Valores que dejan 25%/75% |
| Percentil Pₖ | Valor que deja k% por debajo |
Medidas de dispersión
Varianza: σ² = Σ(xᵢ−x̄)²·fᵢ / n
o bien: σ² = Σ(xᵢ²·fᵢ)/n − x̄²
Desv. típica: σ = √σ²
CV = σ/x̄ · 100 %
Recorrido = xₘₐₓ − xₘᵢₙ
RIC = Q₃ − Q₁
o bien: σ² = Σ(xᵢ²·fᵢ)/n − x̄²
Desv. típica: σ = √σ²
CV = σ/x̄ · 100 %
Recorrido = xₘₐₓ − xₘᵢₙ
RIC = Q₃ − Q₁
- CV (coeficiente de variación): compara dispersión relativa de dos distribuciones
- σ = 0 → todos los datos iguales
Estadística bidimensional
Correlación y regresión
Covarianza: σ_xy = Σxᵢyᵢ/n − x̄·ȳ
Correlación: r = σ_xy / (σ_x · σ_y)
r ∈ [−1, 1]
Recta de reg. Y sobre X:
y − ȳ = (σ_xy/σ_x²)·(x − x̄)
Recta de reg. X sobre Y:
x − x̄ = (σ_xy/σ_y²)·(y − ȳ)
Correlación: r = σ_xy / (σ_x · σ_y)
r ∈ [−1, 1]
Recta de reg. Y sobre X:
y − ȳ = (σ_xy/σ_x²)·(x − x̄)
Recta de reg. X sobre Y:
x − x̄ = (σ_xy/σ_y²)·(y − ȳ)
Interpretación del coeficiente r
| Valor de r | Correlación |
|---|---|
| r = 1 | Lineal perfecta positiva |
| 0.7 ≤ r < 1 | Fuerte positiva |
| 0.4 ≤ r < 0.7 | Moderada positiva |
| 0 < r < 0.4 | Débil positiva |
| r = 0 | Sin correlación lineal |
| r = −1 | Lineal perfecta negativa |
10 · Repaso final
Check-list de repaso
✅ Álgebra y sistemas
- Producto de matrices (orden y condición)
- Determinante 2×2 y 3×3 (Sarrus)
- Matriz inversa por adjuntos o Gauss-Jordan
- Rango de una matriz
- Clasificar sistema por Rouché-Frobenius
- Resolver con Gauss, Cramer o matricial
- Sistemas con parámetro: discutir en función de m
✅ Programación lineal
- Plantear función objetivo y restricciones
- Representar inecuaciones y región factible
- Calcular todos los vértices
- Evaluar f en cada vértice → óptimo
- Interpretar el resultado en contexto
✅ Análisis
- Límites y técnicas (sustitución, factorización, L'Hôpital)
- Asíntotas (vertical, horizontal, oblicua)
- Continuidad y tipos de discontinuidad
- Tabla de derivadas básicas y regla cadena
- Monotonía, extremos, concavidad, inflexión
- Estudio completo de función y gráfica
- Integrales inmediatas y cambio de variable
- Regla de Barrow y cálculo de áreas
✅ Probabilidad y estadística
- Combinatoria: permutaciones, variaciones, combinaciones
- Probabilidad condicionada e independencia
- Probabilidad total y teorema de Bayes
- Binomial: P(X=k), media y varianza
- Normal: tipificar con Z, usar tabla N(0,1)
- Media, mediana, moda, varianza, desviación típica
- Covarianza, correlación r e interpretación
- Rectas de regresión y predicción
💡 Consejo clave: En cada ejercicio, muestra siempre el proceso paso a paso. En la PAU 2026 se valora especialmente el razonamiento y la interpretación del resultado en contexto real, no solo el cálculo mecánico.